旦那が突然病気になり、しばらくは働けない状態です。 私は扶養内パートしかしてないため、転職しなきゃいけないのですが、できれば正社員になりたいと思ってます。

全く同じ状況になった事があります。
私の場合は、フルタイムの派遣からスタートしました。そして派遣から社員になりました。
派遣から社員になれる求人って結構出てます。職種は私の地域は工場、介護、スーパー、医療の補助、飲食が多く時給も１２００円前後が多かったです。
人事の人が前言ってましたが、30、40代の人を雇う時、お子さんがある程度大きいと急に休まれる心配も少ないから安心感があるらしいです。