子供を見ておくから ・仕事しといで ・息抜きしといで ・昼寝したら と提案しても、妻は応じず、子供に24時間後追いされて寝不足とストレスでイライラし

昼寝時間確保ぐらいなら「見ておくから昼寝したら？」という提案じゃなくて
奥さんが昼寝できる環境にしておくと良いと思いますよ。
きっと家事もやらないといけないし子供の相手もしないといけないから提案されてもそんな暇ないって思っているのでしょうから、主さんが家事もやっちゃって、子供も奥さんを追いかけ回す前に主さんが相手をしてあげて、
奥さんが「あれ、することないな」って思えるぐらい環境を整えておいたら昼寝ぐらいできるんじゃないでしょうか。
少なくとも家事をしている時に後追いする子供を拾い上げて抱っこして構っておくぐらいは提案も許可もなくても父親なら当然の権利として出来ると思いますよ。