ちゃんと子供に謝れているのは良い親だと思います。確かに親に信じてもらえないのは確かに子供にとってはショックな事だとは思いますので、今後は子供の側に嘘をつく理由やメリットがないと思うことで何か子供が言ったことは基本的に信じてみるといいと思います。親である主さんがまず自責的で自信がなさそうな印象を受けましたので、今回のような事があったからというよりも主さんの日頃の背中に影響されてしまう部分があるかもしれません。「自分が間違えたらちゃんと非を認めて素直に謝る」をモットーに、もうちょい自分に自信を持って間違いや失敗を過度に恐れないスタンスでいたらいいと思います。そのスタンスを子供さんに影響して真似されるほうが、失敗を恐れる姿勢を真似されるよりは良さそうに思います。