仕事中公私混同する友人(経営者)

微妙な話ですね。
その友達もそうですが、どちらかと言えば主さんのほうが公私混同されている気がします。
そもそも塾内においては、経営者と社員なのですから。
強いて言えば、燃料代の請求はするべきで、
それを言いづらい理由が友人だから、というのは公私を混同されていると思います。
職務上の経費なのですから、堂々と請求すれば良いのです。
仕事中子供を迎えに行けないのは普通のことで、たまたま社長が友人だから不満に感じるだけです。
ただこの状態がストレスに感じられているようならば、転職して元の友人関係に戻られたほうが良いでしょうね。