中二の娘に幻滅しました。小学校の時から勉強が大嫌いで、ひどい点数ばかりでしたが、中学でさらにひどくなり、今のままでは、公立高校への受験は無理だと担任からも言われ

私が妹だったら兄と同じように扱ってほしいです。兄に認めるなら妹にも認めてほしい。もしくはどちらにも認めないか。
兄には許されたのに自分には許されない。親の頭には「兄は私立・妹は公立」の
選択肢はあっても「兄は公立または就職・妹は私立」の選択肢ははなからないのだと。そんな状況の気持ちの整理が中学生につけられますか？そんな気持ちのまま苦手な勉強を前向きに頑張れますか？大人でも難しいと思いますが。
経済的な理由もわかりますが今までの文章だと最初から妹の将来を"無理なく出来る範囲"に制限した選択肢しか与えてないように見えます。
お父さんお母さんも、今よりボロッボロの家に住んで、ヨレヨレの服を着て、お肉も満足に買えず、端から見たら惨めな生活をしたら私立行かせられるんじゃないんですか？その選択肢もあるよって妹さんに言ってみたらどうですか？おしゃれが好きならエステや美容科がある単位制高校だってあるし提案してみては？そっちを選ぶようなら美容師という職業(体力勝負)のキツさと現実、将来の見通しについても話してあげて下さい。
妹は多分選ばない気がしますが、自分の為に選択肢を考えてくれた事は残ります。最初からレールの上を歩けなんて言われたらそりゃ反発しますよ。親が正しいとわかってても反発してしまいますし、むしろその通りにしたくなくなります。