嫁と喧嘩をし、嫁が生後２ヶ月のこどもと実家に帰りました。喧嘩理由は、嫁がこどもの世話疲れで眠いから、こどもを寝かしつけてほしいといわれ、仕事で疲れてますが、必死

実家で甘えさせてもらっているのであれば、そのままで良いじゃないですか？

1人の方が、育児を手伝わず、資格試験に集中できるし、休憩にゲームやっても、文句は言われない！
十分満足ですけどね。

ただし、実家のご両親にはお世話になっております、と挨拶をしておくべきでしょう。

その上で、何か問題ないか？
帰ってきた時に出来ることはあるか？
は奥様と話し合いをしておきつつ、資格試験が終わるまでは、実家でのんびりして貰えばいいじゃないですか。

子どもが可愛いなら、オムツの交換、夜中のミルク、寝かしつけ、食器洗い、技術的に出来ることは全てマスターする事を目指してください。それなら、誰にも文句は言われないと思いますよ。

その際、失敗は誰にでもありますから、次に活かせばいいだけの話。
まぁ、ミルク吐いたことが、失敗とは思いませんけどね。

世間体を気にしている、とありますが、逆の考えになればいいだけ。
奥様にリラックスしてもらうため、あえて実家に戻ってもらっている、と。
もっと、お互いを尊重し合うべきでしょうね。
まずは主さんが奥様のいいところをしっかり尊重して、ダメだと思うところも解釈を変える努力を！

でなければ、
主さんも自分の都合のいい使用人が欲しいだけなの？
と思っちゃいますね。