シングルマザーです。どなたかアドバイスお願いします。 千葉県に住んでおり、うつ病で仕事が続かず生活保護を受けています。子供は3歳保育園児です。実家が東京でして

どの辺りなのかにもよると思いますが、都内で待機児童がいない所ははほぼ無いみたいですよ。
母子家庭なら優遇はあるかと思いますが空きがなきゃ入れませんからね。
時期的に何時頃ですか？認可や認証はもう4月の入園でいっぱいですからたぶん無理ですよね。
秋もあまり空きは出ないみたいなので、実家近くの園の下調べと申し込み準備などはしておいて、来年の4月に入れるか？って感じかもしれません。

当面は実家にお願いしてしばらく住まわせてもらうしかないのでは？
まずは就職して、保育園入園が可能になった時点で、アパート借りて実家を出るのが賢明です。

無職じゃアパート借りられないでしょうし、先に都内で仕事決めてもアパート借りるまで千葉から通えるのか？という問題があるので。