色々と悩んでいます。 １つ目は、同居していた高齢の母親が脳梗塞で入院中で、今はリハビリ中なんですが、入院費用は世帯を別にしたりの申請をして、極力低くなるように

施設に入所されるのであれば、基本的に住民票(住所)は施設に移すよう勧められるんじゃないかと思います。
もし一緒に住まない見込みでも、主さんの引越し先に一緒に住民票を移して同一世帯の扱いもできると思います。

お母様は要介護認定をすでに受けられましたか？
担当のケアマネージャーさんに聞いてみたり、市役所などの介護保険係などに話を聞きに行ってみるといいんじゃないかと思います。ネットで調べても住所地特例などの単語が出てくるのでややわかりにくいのではないかと…