友人の自動車の修理代を弁償しました。しかし友人から見積書や請求書もなく、提示された金額を支払っただけだったので不安になり請求書を送って欲しいと伝えました。すると

なんだか相手も随分とおかしな感じですね。
少なからずあなたも親を巻き込んでる…って？？
勝手に巻き込んだのは相手だわ (笑)

でもまぁ、送付先はこの際どっちでもいいじゃないですか。(親御さんにはこの事もしっかり伝えておいて下さいね)
見積書・請求書・領収書、揃えて送ってもらってください。
これはあなたが弁償として修理し支払った物ですから、本来はすべてあなたの名前で発行して貰うべきものです。

修理内容、その金額、支払った領収書…相手もこれらの物が全て正当な内容・金額であれば、普通はすんなり出せるべき物なんです。
それをせずにあなたの親やら相手の親やらなんて、わちゃわちゃ面倒くさい事を言ってくるからには、そこには「はいよっ」とすんなり提示できない理由があるんじゃないかと思うんですよね。
友達だからね、あんまり穿った見方はしたくないだろうけど。

兎に角、まず後の事はそれらの書類を確認しない事には何とも言えないかな。