友人の自動車の修理代を弁償しました。しかし友人から見積書や請求書もなく、提示された金額を支払っただけだったので不安になり請求書を送って欲しいと伝えました。すると

１番です。再レスです。
「説明させて」なんて言うって事は、見積書よりもだいぶ請求額が多かったので、何故高額になったのかの作り話でもするんだと思います。
何の後ろめたさもないのなら、見積書なり請求書をすぐに送ってきますからね。
ご両親に話を合わせてもらうしかないですね。
もしかしたら、その友達は「親に説明させて」と言えばあなたが諦めると思ってるのかも知れません。
もし、見積書と請求額が違った事が判明したら、そんな友達とは縁を切ったほうがいいです。