今月中に現在同棲中の彼と入籍する予定の者です。 4月末に他県から引っ越してきて、彼と現在の住居に住んでいます。ちなみに彼の地元であり今は彼だけ働いています

そろそろパート始めようかな〜くらいの状況なら、急ぎではないんですよね？
それならいまは求人情報誌やハローワークに通って情報収集して、入籍してから履歴書を送ればいいと思います。
どうせ1〜2週間しか変わらないんですから。

どうしても今月締め切りの応募先があるのであれば、先方に連絡して新しい姓で履歴書を送らせて貰えばいいと思います。
近々住所が変わる予定とかなら面倒ですが、名前が変わるくらいなら大丈夫です。