今住んでいるアパートの管理会社が7月から別の管理会社に変わるという書類がきました。 そこに、7月から家賃振込先の変更をお願いしますと書いてあったのですが、

新しい管理会社に口座振替依頼書を書いて送るだけで、大丈夫です。
あとの手続きは、管理会社がするはずです。
今の管理会社の口座振替は、その会社が銀行に請求データを送らなければ引き落としにはなりません。
新旧の管理会社間できちんと引き継ぎがされていれば、大丈夫なはずです。
念のため、ふたつきくらいは明細をチェックしてみてください。

ただ、管理会社の変更を装った詐欺もあるので、そこはよく確認された方がいいかと思います。