衣類数着を郵送したいのですが、こちらの住所を書かずに送ることは可能でしょうか？

送るだけなら普通郵便で差出人が名前だけでも大丈夫ですよ。
ちゃんと届きます。

ただ住所が間違っていたときなど何かトラブルがあったときに、送り先にも届かないし差出人もないから戻せないっていう状況になります。

元職場なら前の住所を書いて送られてはいかがでしょうか。
転居届けを出していれば、万が一送り先に届けられなくなっても今の住所に戻ってきますよ。