シングマザーで未満児がいますが、事情があり県外引っ越しを検討していて今年の保育園が間に合わないので令和4年4月入園まで待たなければなりません。 それまでは仕事

保育園なら、申請を出しておけば年度途中からでも入れる可能性はあるんじゃないでしょうか。
特にシングルマザーさんなら働くこと必須ですから、そのための枠を残しておく自治体もあるみたいですよ。
転居先で、仮に令和３年4月からの入園申し込みが令和２年の12月締め切りで、主さんに引っ越しが令和３年1月だったとしても、その時点で
①令和3年2月以降（令和2年度）の途中入園希望の申し込み
と
②令和３年4月以降（令和３年度分）の申し込み
二本立てて申請を出しておく。
まあ、①で3月までにはいれる可能性は極めて低いけど、令和3年度中にはチャンスはあるかも。

あとは、一時保育のシステムがあるならそれを利用して週に1〜2回でも単発でバイトをするとか。

いろいろやり方はありそうですよ。