ネットで知り合った人と養子縁組をしたいのですが、具体的にどうしたら良いのでしょうか？私は15歳で相手の方は独身男性です。

未成年を養子にする場合には、家庭裁判所の許可が必要です(民法第798条)
また、養子縁組の届出は当事者双方が署名した書面で行い、2人以上の成年の証人を要します（民法799、739②の準用）。
さらに養親は成人している必要があります。

まずは養親となる人が家庭裁判所に、「養子縁組許可申立」をします。
そこで裁判所は、養親となる人の動機や目的、養親実親双方の家庭事情や経済事情、養親の年齢、職業、品行など監護教育についての適格性、養子と養親との適合性などをそれぞれと面談して判断し、許可を出します。
許可が下りて養子縁組許可審判書を貰ったら、市区町村役場の戸籍係に戸籍届を提出して手続きをします。