初給料日に雇用保険など社会保険料が給料から天引きされていませんでした。調べてみたところ翌月に請求されることがあるらしかったので、そのまま翌月の給料日まで待ってみ

社会保険料は基本的に実質ベースで天引きするので、前月実績分を翌月に徴収することになります。
ただし賞与は支給時に徴収されます。
退職時にも基本的には前月分まで徴収されますが、月末退職の場合は翌日が資格喪失日となるので、2か月分の徴収となります。

入社時に当月の社会保険料を支払ってない場合は、免除などを除き、自分で支払わなければ未納扱いとなります。これは年金機構の社会保険料納入確認などでも確認することができます。