私は３７歳のシングルマザーで、小学校低学年の子供がいます。最近、やっとお付き合いを始めた人が居ますが、まだ出会ってから3ヶ月も経っていない状態で結婚を申し込まれ

何となく、自分大好きで強引な人、という印象を受けます。

>>払ってやってるんだから大事にしろみたいな事を言われる

冗談にしてもあまり笑えないし、まだそんな冗談を言い合えるほど親しくはないのではと思います。
押し付けがましい印象ですね。

>>幸せにするからお願いします！といったメール、電話がしばらく続いた

お子さんがいての再婚になる主さんの気持ちや不安が、分からないのでしょうか。
自分の気持ち優先で、思いやりに欠ける印象を受けます。

彼は、主さんのお子さんのことを、どう思っているのでしょう。
お子さんは、彼のことをどう思っていますか？
お子さんがいるなら、父親としてどうか、という視点は欠かせないと思います。
子どもが馴染めるかどうかじっくり見たいので、まずはお付き合いから、と言ってみたら、彼はどんな反応を示すでしょうね？

あまりいい印象のない彼氏なのでお薦めはしませんが、主さんが見極めたいなら、しばらくお付き合いしてみられてはと思います。