父親に認知訴訟を起こしたい！

確かに、主さんの仰る通りでしょう。主さんの考え方は正しいと思います。
認知してもらうことは、主さんの当然の権利です。

ただ、当事者でない分だけ、客観的に物事を見ることができます。

主さんは、強制的に認知をしてもらった場合の影響、デメリットを
全て引き受ける覚悟は、おありですか？
今、認知してもらったなら、認知を求めず一人歯を食いしばって頑張ってこられた、
お母さまの15年間は、いったい何だったのでしょう。
また、強制認知によってお父さまの今の家庭は少なからぬ影響を受けるでしょう。
新しい奥さま、二人の間のお子さんには、何の罪もありません。
お二人からすれば、平穏な家庭を壊される訳です。
主さんは、このお二人の怒り、恨みをお一人で背負う覚悟は、おありですか？
また、認知によって相続の問題も発生するかも知れません。
お金が絡めば、事態はもっと泥沼化するかも知れません。

主さんの、15歳らしい正義感と潔癖さは、素晴らしいと思います。
しかし、それだけでは通用しないものがあります。
お母さまと、もっとよくご相談されるべきだと思います。