派遣先を辞めたくて、3月の初めに派遣先の上の人に その１週間後に派遣会社の担当に辞めたいと伝えました。 派遣先の上司曰く、新しい人が入り引き継ぎが終わる

心配しなくても話は通ってると思います。ただ、多忙な派遣営業さんからすれば辞める方向で固まってる社員への連絡やフォローなんかは後回しになりがちです。簡単に言えば、優先度が低いのです。書類手続きさえ済ませれば全く問題ないのです。
ただスタッフからしたらやきもきするのは当たり前だし、稀に凄いバカな派遣営業もいるため、連絡つくまでしつこくかけても良いかもしれないです。派遣営業に気を遣ったところで、1円の得になりません。