嫁の母が子供の事など、口出しが多くてイライラがおさまりません。 自分が短気なのもあり、小言が積み重なってケンカしてしまいました。 嫁は実家依存症、女

喧嘩くらいしたっていいよ。　
言い返すくらいしないとお互いを尊重しあうそんな関係なんて出来ないから。

相手も、怒るんだ言い返してくるんだやり過ぎると牙も向いてくるんだというのが判ってこそ、貴方の事も気遣えたりするものですし。

義母に味方した嫁に対しても「だからといって度を超すのがいい事にはならんだろ！」と、そこに母娘の贔屓目がある事を気付かせるくらいは言う方が良かったのではと思います。
それがその三者での何がいいか悪いかの良し悪しの基準作りになるので

ただそれで関係が壊れてしまうのはよくないので、仲直りがとても重要になりますよね…

仲直りのコツはただ謝罪するのではなく、相手の良い所や助けてもらってる所にはいつも深い感謝を感じてるといったような褒める所や認める所や感謝する所への感謝やありがとうを必ず入れる事。だけども、度が過ぎるような所があるといくらそんな自分でも怒るという風に「貴方の敵ではない」と示す事。
いわゆる罪を憎んで人を憎まずをちゃんと表現して自分の悪い部分だけを謝り（例えば声を荒げてしまった部分とか）歩み寄る事だったりするよ。

「こういう事をするあなたはイヤだ」と言ってしまうと貴方がイヤだ嫌いだと相手は受け取ってしまう。それを謝罪したとしても“嫌いなんだ”という禍根は残ります。
でも「貴方は嫌いじゃない。でもこういう事をされるのは嫌いだ」というと意味が全然変わりますよね。

奥さんと話し合うのなら、ただ感情的になっただけではない事を、その伏線があった事を同じように認める部分は感謝する部分は感謝しながらしっかり話しておく方がいいですよ。
人の奥さんを悪く言うのはかなり気が引けますが…
どっちかというと奥さんの方が“いい関係を保つ”為に必要な事をどちらかというとあまり判っておられないような感じですし、どうも“男（男性）”というものをよく判っておられないそんな感じですので。