動物病院の通院をやめたいです。 親戚が飼っている猫を代わりにワクチンに連れて行ったのがきっかけで病気が見つかり通院することになり通っています。 最初

それ、きちんとしないとアナタも猫も可哀想です。
アナタの住まいで飼えるのであれば、猫ちゃんは引き取りましょ。ただし、親戚には立て替えた病院代をいつまでにいくら必ず返すという念書、もう動物は飼わないという念書、該当猫（見た目の特徴など記載して）はアナタに譲るという念書は取りましょう。
慢性の皮膚炎と一口に言っても必ず原因はあります。
細菌性なのか真菌性なのか、アレルギーなのか、虫なのか...皮膚がただれて炎症しているから抗生剤はわかりますが、ただ赤くカサカサしてるだけなのに、細菌かどうかもわからず抗生剤を飲ます必要はないですし。
真菌が原因なら抗生剤飲ます事で悪化すらしますよ？
個体によってはチキンアレルギーや、青魚アレルギー、酷いとタンパク質アレルギーなどもあるのでフードを見直す必要があるため、何でも構わないという感じの元飼い主さんの元では治らないでしょうし。
猫ちゃんも犬以上にワクチン必要な時代ですからね。
問題はアナタが飼えない場合。
事情を話して飼える里親様を見つけてあげるべきかと思います。