派遣社員として働きながら、こっそり正社員や契約社員への履歴書を送ったり就職（転職）活動をした経験がある人っていらっしゃいますか？？ 3ヶ月更新でも3年MAX、

同じことしたことあります。
試験や面接が平日なので、急なお休みを立てつづけにもらうのだけは都合悪かったです。

ちゃんと辞めるタイミングは1ヶ月後とか、派遣ならもう少し早くても良い場合がありますがそこだけはしっかりどちらの会社にも取り付けした方が良いです。
主さんの場合、今月末がちょうど良いタイミングになりそうですね。

希望に合う転職先が決まりますように。