情けないのですが、現在23歳のフリーター(女)です。 月にも寄りますが手取り13万ほどが一番良いときでもらっている額です・・・。貯金のことも考え今後は実働時間

まぁ、そんなに自分を情けないとか責めなくていいと思いますよ。
現実にはそういう状況なのでしょうが、あなたのかんがはしっかりしていると思います。

私はあなたのお母さん世代20代の子供が二人います。

23才で実家暮らしはさほどおかしな事じゃないし、家にお金をいれるかどうかは親と話し合って決めればいいこと。
それが甘えかどうかその家の価値観はそれぞれだと思います。

あと一年ほどで同棲なら、遠くへ行くのでしょう？
現実的には今転職しても意味ないですよね。
収入を増やしたければ週末などダブルワークする方が良いのでは？
貯金額はボーナスがないと中々貯まらないわよね、仕方がないわ。

同棲先でどうするかを考えた方がいい、その辺は親御さんも理解してくれているのかしら？

うちの23の娘も近場だけど先月から彼と同棲しています。
正社員として働きながら生活費は折半しているようです。
家事はあまりちゃんとしていないと思います。
仕事は辛い事はないみたいだけど、面白くない行きたくないといつも言ってますね、でも仕事って生活するためでもあるし前に勤めていた所よりはまし（忙しくて時間が不規則）って、そこは我慢しているみたい。

あなたも彼と結婚も視野に入れているのなら、今よりも同棲後や結婚後仕事や家事の事、子供の事など彼の価値観もあるだろうし、その辺を彼とよく話し合った方がいいと思います。