父親(69)が先週の金曜頃から腰が痛く、足に力が入らずベッドから１人で起き上がれず、歩く時ふらつくので(何もない所で何度か自宅で転倒)１人でトイレにも行けない状

他の方も仰ってるように、腰痛は腰痛圧迫骨折の可能性あります。一人で立ち上がれずトイレへも行かれないなら、救急車呼んで搬送した方がいいです。
それと併行して、早急に役所か地域包括センターへ相談に行って介護認定申請します。認定が出る前でも、申請日から先行してサービス利用可能です。

介護タクシーは未認定や要支援認定だと介護保険が使えないので全額自己負担となりかなり高額です。お住まいの地域によりますが普通のタクシー会社の福祉車両も基本予約制が多いので、急遽だとなかなか難しいかと思います。

とりあえず救急搬送で病院、そして介護申請です。役所より包括支援センターへ行った方が、その後のサービス利用の流れが早いと思います。包括支援センターの職員が直ぐに直接動くか、または緊急と判断すれば直ぐにケアマネに振りますから。