介護に関して、医療機関を受診するのが先か、行政や福祉機関に相談するのが先か悩んでいます。 介護サービスを受けたり施設を紹介してもらうのは、行政や福祉機関です。

普段受診している病院はありますか？
介護保険を申請すると、主治医の意見書が必要になりますので、主治医を決めなければいけません。
その後役所か地域包括支援センターへ申請→認定調査
介護度の決定後にケアマネ（居宅介護支援）を選定→決定（契約）
ケアマネと相談して必要なサービスの調整→契約
利用開始になると思いますので、受診し介護保険の申請が必要です。