4月半ばに辞意を伝え、6月15日に新しい会社が決まってます。 その時は社長も承諾してくれましたが、引き継ぎの方がなかなか決まりません。2人でしてる会社なので、

>13

>退職日は有給消化も含め、15日までです。
>16から新しい会社です。

そうなんですね。
これはこれでいつだか分からなかったのですが、私が問題にしていたのは「いつの時点で会社にこれを伝えたのか？」です。


>次の会社に了承もらわないといけないというのを知らなかったので曖昧に返事しちゃいました。

了承をもらわないといけないと決まっているわけではありません。
会社によっては就業規則で副業を禁止しているところもありますし、副業を禁止する事についての賛否が過去にニュースで話題になった事もあるので。
次の会社の業務に影響を与える可能性があるのなら、了承を取るべきというのは当然ではないでしょうか。
極端な話としては、新しい職場で働き始めたが、前職の都合で適当に休まれたら迷惑ですし、認められないかと。

曖昧なのは、次の会社に勤め始めてから、どの程度前職の負担があるのかと、次の会社での業務に影響を与えるかどうか？です。
分からないのであれば、次の会社に迷惑がかかるかどうかも分からないから判断出来ないという事になりますので、確認を取っておくべきでしょう。

>本来は前の会社に言われてると伝えた方がいいですか？？

本来なら、転職したのであれば前職の業務には関わらない事です。
ですので、伝えるのではなく、転職して勤務開始日が決まっているのなら、前の会社からの申し出は断るのが良いと思います。