ニートと思われる弟を働かせるor自立支援のための共同寮に入れる方法はありますか？ 私の弟(18歳、高卒後に就職したが一週間くらいで辞めたと思われる)がいます。

弟さんクズなんですか？
働かずに家にいてゲームをして18歳。まだまだ若い。可能性のある時期ですよね。
嫌なことがあって何かにあたるのは普通にあることです。
その対象がゲームで、ストレスの発散対象がモノだったということ。
働いていないのであればそうもなりますね。
今落ち込んでいる時期をどうしてあげるか。
人を動かしたいなら普通はポジティブな言葉で良い面を伝えて自信を与えてあげるものだと思います。
が、主さんの感じだと今までそういうことも無かったのでしょうね。
主さんのお母さんも優しいのではなくペットなようなものとして扱っているように感じます。
弟さんをどうにかしようではなく、どうにかなった弟さんに罪悪感に苛まれてしまうのですから。
お母さんがそれをどうにかしないでどうする！と言いたい。
これは弟さんには辛い状況でしょうね。人として成長する機会がどんどん奪われていくように思います。

また期間は一週間とは言え初めて勤めた職場。辞めた理由も知らないのでしょう？
クズと断定されたら人は動かないと思います。
主さんが弟さんをそういう人間だと思うほど弟さんはそういう人間にもっとなっていきますよ。
そういう思いをもった主さんが関われば関わるほど弟さんはまともにはなれないと思いますので
主さんの視点で見るならば弟さんには関わらず放っておくのがいいと思います。
今後も関わるつもりはないとしっかりご両親にはお伝えください。