嘘DVで逃げた弟の嫁

地域によるでしょうが、シェルターには２週間程度しか入れません。
シェルター側から今後の見の振り方を選択されます。大まかに①実家や民間アパートに行く②離婚する為に宿泊所に行く
②を選択した場合、その日に空いた宿泊所に行きます。数ヶ月しか宿泊所にもいられません。宿泊所ですから格安ですが家賃もかかります。仕事を探したり、審査は勿論ありますが住民票を移してなくても特例で生保を受けられたりします。
その間に調停を申し立てられるからその調停の時に色々弟さんが嘘だ!!と妻の不貞行為の証拠を提出し、調停不成立にさせ裁判に持ち込む。そうなるとおそらく期間的に宿泊所にも居られないでしょう。
裁判で親権(監護権含む)を求める。

行政側もいつまで経っても調停を申し立てない人を不審に思うはずです。