職業訓練校の先生。

説明を読ませていただいた上での率直な感想ですが、やはり主様のほうに落ち度があるかと感じました。
たしかに電話応対に当たった女性職員の言葉の選択はつっけんどんに思えますし、上司との相談により前言を翻すなら門前払いを食らわそうとした判断も結果的には軽率だったということになりますが、新聞紙上に申し込みは28日までという記載があったにも関わらず、電話で一応の手順を踏んだと解釈したのは主様の早合点だと言わざるを得ません。
重ねて、件の電話が26日ならば28日までの日付は当日を含めても3日しかなく、仕事が遅くなり向かえない可能性があるかどうかは派遣先のそれまでの勤務状況から予見することも出来たかと思います。

そもそも主様は体調不良にも見舞われず、仕事が定時で終わっていたならば、申し込みのために足を運ぶつもりがおありになったのですよね？。それが自己都合で不可能になったならば(私なら)28日までの間に電話で確認を取るくらいのことはしたかと思います。