子供達に急に反対されました。

再婚に反対し出した、とかじゃないんですよね？
見に行こうとしてるのは、四人で住む家ですか？

もう20歳と18歳で大人だし、『再婚には反対しないけど、新しい母親ではなく、お父さんの再婚相手として捉える。ただの同居人としてしか見ないから、下手に慣れ合うつもりは無いよ』という事ではないでしょうか。
私の友達が18の時に父親が再婚しましたが、特に反対はせず、そんな感じでした。
再婚後は新しい母親と言うより『お父さんの再婚相手』『一緒に住む事になったお姉さん』みたいな感じで、まぁ悪い関係では無かったようですよ。