解雇されました。

この場合は二つ問題でしたかと思いますよ。
まず、初めの覚書を貰っていない事。
そこには契約期間等も含めて、いろいろな雇用条件が書いてあります。主さんの契約はどのような物でしたか？ですね。（パートでも半年は試用期間で社保加入無しの場合も？）

もう一つは、パートでも雇用保険に入れる条件があるんですよね。
他の方が仰っている様に週２０時間以上とか正社員の４分の３日以上？出勤している事等々。

◎パートだから入れなかったのではなく、パートでも加入条件を満たしていないから入れなかったのか？或いは、パートでも加入条件を満たしていたのに入っていなかったのかを、調べるために、タイムカード等の出勤簿等が必要なんです。その様な事ですよね。。。。。

ただ、離職票を貰って失業保険給付の手続きをした場合、と申しますか、次の仕事が決まったら、主さんとしては何の意味も無くなってしまいますよね。期間的にも如何ですかね？