住民税について。 5月分までは前職場で払っており、 今月の途中から新しい職場に入職し、 今月だけ引かれていないのですが 今年分は自分で負担でしょうか

住民税は所得により決まります。
一般的に会社で年末調整しますと、役所から会社へ特別徴収の依頼が
あるので、６月の一期から天引きで特別徴収となります。

主さんの場合、６月からの分は普通徴収となり、ご自宅へ納付書が送られて来るかと。
今年の年末調整後、来年の６月から特別徴収になろうかと思います。どうしても特別
徴収にして欲しかったら、役所と会社に相談とお願いになります。可能ではありますが？