日本には税金を納めない職業ってあるんでしょうか？

↑多分しないんじゃない？(笑)
と言うより皇室(男系)は生まれてから死ぬまで、ずっと国民の税金で生活しているわけ。
政治家や公務員も税金で生活しているが、生まれてから死ぬまででは無いし、成人後に自力で代議士なり公務員になったのだ。
また年金生活者は働いていた時期に年金を払い、積み立てていたのだ。

その意味で仮に皇室の人が買い物して消費税が含まれていたとしても、その買い物する金自体、国民の税金から出ているわけ。