今年結婚と引越ししました。1月から旦那の扶養に入りました。 保険証はもう貰いましたが年金はどうなっているんでしょう？年金手帳が手元にありますが名前と住所の変更

旦那さんは、厚生年金保険料をお支払いしていますか？

って当然社会保険に入っていれば、厚生年金にも入っているし、会社で勤める人は、社会保険等に加入しなければなりません。
それを考えたら、扶養に入っていれば、第三号という形で、自分も厚生年金保険料を支払っていることになります。

年金手帳の変更があった場合は、年金事務所に行って、自分で変更手続きをしてください。