車検切れの車を運転してしまったときの責任は運転手本人と車検切れを通知しなかった保険会社もしくは車屋（ディーラー等）にも責任はあるのでしょうか？

たとえば自己所有物として認められた私道で自家用車を運転する際には車検は不要となっていますね。公道を使用するときに必要として定められた制度が車検制度なのですよ。
そのため車検切れの自家用車を運転すると罰則が設けられているのです。
自己所有物に掛けていた保険契約が切れても罰則はないのです。その件に関しては約款等の基準で定められた契約に付随する問題として処理されることになったわけです。