Googleの同期・履歴削除をしたいです。 新しいAndroidスマホを買ってアプリゲームを始めた時に自分のGoogleアカウントがなく、そのとき彼氏がそ

>①アプリゲームで彼氏のアカウント使うので削除できないのですが、ログインさえしなければ登録はそのままにしてても私の検索履歴が残ることはありませんか？

たとえゲームを彼氏さんのアカウントで使おうと、あなたがこの先自分のアカウントでGoogle検索したりYoutube視聴すればいいわけで。それはあなたのアカウントの履歴なんだから。あなたの端末のアプリどれかひとつにGoogleアカウントで連携されてるってだけで異なるアカウントの履歴まで筒抜けになったら誰もGoogleなんか使わないでしょう。
ゲームを彼氏さんのアカウントで使うとしてまずいのは彼氏さんが同じゲームする場合だけです。

そもそも彼氏さんもネット使えばどんどんその履歴が溜まっていくんだからよほどのことでもない限り彼女の履歴を遡って調べるなんて暇なことしないでしょ。ブラウザの履歴一覧見たことあります？古いのはどんどん下に下がっていくでしょう？
ブックマークならともかく。彼氏さんのアカウントに自分のブックマークあったなら手動で消せばいい。
もし彼氏さんがそんな気持ち悪い男なら今更消したってとっくに知られてる。
あなたが自分の履歴だけ手動で消すったってそうとう面倒よ。