警察官の方って プライベートで車に乗っているときに 違反者を見たり、煽られたりしたら 「いま捕まえられたのに！」ってなるのでしょうか？

警察関係、消防、医療、交通関係は、プライベートなら前日は、非番に成るので、貴方のような考え方は、少ないと考えられます。

非番とは、前日から勤務を終えた日の事を指します。

例えば、朝九時から仕事が始まり２４時間勤務を終えて翌日の朝九時で交代をする。
その翌日を非番と言います。

しかし、２４時間勤務でもその間に、所定の休憩や仮眠時間は、ありますからね。

そうで無いと体が、持ちませんからね。
これが無いとブラック企業と言われますからね。

しかし、事故とかトラブルの突発的な事情がある場合は、普通によって２４時間ブッ通しで働く事もありますからね。
業界によっては、明け番とか明け休とか言うところもあるようです。

そんなプライベートで、ボロボロの疲れた体で、しかも管轄外なら、相手には、しないと推測されます。

個人的な発想ですのであしからず。