1歳過ぎた子供が暇そうな時、公園に連れていくのですが、ベビーカーかろ降ろしても響き渡るほどの大声でその場で立ったまま、泣き喚くだけです。泣かなくても、15分以上

まだ一歳ならベビーカーから下ろす必要も無いのでは？
降りたがってるなら話は別ですが、部屋にこもっている罪悪感解消のためなら、わざわざ遠い公園まで行かずともベビーカーで近くを散歩で充分だと思います。

お子さんとしては降ろされたけど、どうしたらいいかわからなくてギャン泣きか棒立ちしてるんだと思うので、公園連れてっても自主的に降りたがらなければほかのお子さんが遊んでいるのをベビーカーから見せてあげるだけでいいんじゃないかな、と。
軽食やおやつを持参して気分転換に公園でお茶するのも良いかもしれませんね。

少しでも運動させたい気持ちはわかりますが、焦っても仕方ありません。相手は産まれて一年ちょっと。

突然見知らぬ場所(何回か来てても)で突然はい歩け！は怖くてギャン泣きされても仕方ないかと思います。