賃貸アパートの査定が通り、入れることになりましたが、不動産屋の話を聞いていると、ネット回線が通っており契約すると、無制限の使い放題で毎月3000円とのことですが

賃貸退去時に解約するとしたら、火災保険くらいだと思われます。(物件によっては家賃に組み込んでいる場合もあります。インターネット契約も込みの場合ならば、それも同じく退去と同時に解約になるかと思われます。)
インターネット契約は引越ししたら転居手続きできるのではないでしょうか？

賃貸契約、審査通過後に『重要事項説明』があると思います(最近は口頭説明ではなく、書類にて確認してねって感じかもしれません)のでそこで確認してもいいですし、契約前に確認してもいいです。
説明時なり、契約書なり、退去時の解約について記載があるので確認してください。