今まで仲良かったアルバイトの人と関係が悪くなりました。 職場の人間関係について雑談をしているときに私の余計な一言が原因で怒らせてしまったんだと思います。

謝りたいなら謝りましょう。
それでも許してもらえそうにないなら、見切りをつける事も一つだと思います。
今後軽はずみな言動をしないように留意するしか無いですね。
それが、その会話がその場に合わせるものだとしても、不用意な事で自分の首を絞めてしまいかねないと言うことでしょう。
その人が陰湿な人でないなら助かりましたね。
酷い人は、仕返しもかなり陰湿だったりして、大変面倒になりますから。