前科者が東京大学の医学部や法学部に入学したら、一流企業社員や医者や弁護士やキャリア警察官になれますか?そもそも前科者が東大を受験する資格ありますか?

ネットで調べると出てくると思いますが、
前科でも罰金刑、禁固刑など
内容によって、資格を取るのに制限がある職種は
あるようですね。

医師、または医療関係に関しては罰金以上の刑
国家公務員、地方公務員、弁護士
司法書士、行政書士の場合は
概ね、禁固刑以上の場合制限があるようですね。

弁護士に関しては、執行猶予中は
たとえ弁護士試験に受かっていても
司法修習生にはないようです。（司法修習生は国家公務員なので）

弁護士にはなれる可能性はあっても
検察官や裁判官にはなれないようですね。

大学は前科の有無は関係ないかと思います。
もちろん、高校生が犯罪を犯したら大学への推薦は当然もらえないと思いますし
万が一、推薦をもらっていても犯罪を犯したら推薦取り消しでしょうし
退学になることもあるでしょう。