私の甘えなのでしょうか。23卒で入社してまだ2ヶ月なのですが既に心がボロボロです。 今の会社は第一希望だったのですが、希望の部署とは違う場所に配属になりました

読んでいて疑問に思うのは主さんは先輩や上司に相談してないのでしょうか？
残業も「なし」ではなく「してはいけない」って述べてますよね。それがクレームにつながるってはっきり言えば上司が「阿呆」です。
人手不足ではなく人員の配置と業務分担が偏っているんです。
労基とか弁護士に相談する案件です。
一人で悶々としている場合ではないと思います。

希望の会社に入っても希望の部署に行けないのは典型的な日本型の就職で所謂「就社」ってヤツです。お気の毒。
自分の言葉と態度で窮状を表明して下さい。