長文の近所問題です。暇な方のみお読みください。 住んでいるペット可の古いアパートの一階にはベランダが無く、隣との仕切りが最低限あるだけで構造上は行き来可能

このまま無視してたら良いと思いますよ。そうすれば「つまらない人、付き合えない人」と思われて離れていくかと思います。

何かしら対策したい場合は、窓を開けたままの時は網戸に目隠しシートを貼ったりカーテンは閉めて、相手からこちらが見えないするようにした方が良いです。
暇をもて余している人は常に何か探してアンテナはってます。アンテナに引っ掛からない(こちらの情報を見せない)ことが安全策です。

何かしらしつこいようでしたら、大家さんに相談か、自分で直接「私は人付き合いが苦手で今後も不快にさせることがあるかもしれませんので、あまり話しかけないでいただけますか」と伝えましょう。
しないで欲しいことを伝えたうえで、相手が続けるようなら100%相手の責任になるようにしておきます。

理由部分の「人付き合いが苦手」は「近隣の方との人付き合いを望んでいないので」や「猫が臆病で突然誰かくると、怯えてストレスになるため」などなんでも良いです。