両親どちらを先に介護施設へ預けるべきか悩んでいます。 父親:要介護2 中度の認知症 複数の持病あり 母親:要介護4 重度の認知症 身体障害あり

主さん１人でご両親の介護をしているのでしたら、それは本当に無理です。
介護4のお母様の介助自体はどんな感じかが解りかねるのですが、状況によってはお父様に施設に入って頂くのもありだと思います。
お母様はショートも上手く利用しながら、主さん自身の時間も作って下さい。
ベッドから車イスへの移動に介助が必要な状態の人を１人看るためには、自宅での場合介助者3人は必要だと思っています。