大学では、担任の先生がいるのですか? あと、卒業論文を書かなくてもいい大学はありますか?

担任はない。
必修科目以外は、自分で受ける講義を選んで勉強していく。
四年になれば卒論のために教授の研究室に入って若干関わりは深くなる。
卒論以前に、講義・研究の集大成として論文やレポートの作成・提出は避けて通れない。
ま、やっていけば自然と慣れるよ。苦手意識に固執して出来ない自分を作り出すより、とっとと終わらせて後を楽しようって考えで挑んだ方が、なんとかなるよ。

不安は抱いててもいいから、必要以上に恐れなくても大丈夫よ。