じゃあねって言ってる。
バイバイだったけど子供っぽいかと思って。

バイバイ、またねー
普通に使ってるし、バイバイって言われても冷たいなんて思ったことない。

いい感性。
気にしたこともなかった。
じゃあね~は自分からしたらいつかはわからんがまた会おう的な感じ
またね=また会おうね、お元気で。
みたいな感じ。
どちらかといえばまたねの方が近々また会おうみたいな感じ。
日本語ってふっしぎぃ~~

母とバイバイには、
どんな背景があるのだろう?

バイバイに引っかかる母に
ドラマがあるのだろう!

冷たいのか？バイバイは挨拶だろ
おはようは冷たいのか温かいのか考えないだろ

バイバイ→　good-bye→
god be with you

また会うときまでお元気で

というような解釈で良いと思います。

“じゃあまたね”とか“じゃあまた”って言ってますね。

言葉というか言い方次第じゃ冷たくは聞こえるかもね、バイバイ、さよなら。