義妹が子供をうちに置いていなくなりました。

聞き方の問題だと思います。
だって
名前も生年月日もわからないなら
それを知る方法くらい役所に問い合わせしたら教えてくれます。

無戸籍かもしれないし、無戸籍なら予防接種関係もあるし、戸籍があったとしても予防接種をしているかどうかもわからないし、
名前や生年月日がわかれば、予防接種履歴もわかりますし、母子手帳も再発行出来ます。

しばらく預かるしかないんだから、何もしてくれないんじゃなくて、警察や役所への聞き方次第です。