仕事のミスを認めない人にムカムカする

主さんの気持ちはわかります。
おそらくその人のやる気の無さが原因なのでしょう。
でも確かに主さんも始めからそう決めつけて話してますよね？「こちらも折れて」と書いています。その前は折れなかった。という事は相手が悪いと一方的に決めつけていた態度、言葉を発していたのでは？
ならば相手も面白くはない「悪いのはどーせ全部あたしなんでしょう？」と言いたくもなるでしょう。
つまりはどっちもどっちの所があると思います。上司に『連帯責任』と言われるのも仕方ない部分もあるのではないでしょうか？
「一緒に頑張ろう？」的な事を言っても後の祭。だって相手は始めに一方的に悪いみたいにされたんだもの。それは無理というもの。

でもまあ相手はもうやる気も無いのだから、あまり気にしなくてもいいのでは？それまでの人ですよ。
ただ自分の正義が全てにおいて必ず正義とは限らないという事を、考えてみた方がいいかもしれません。