猫を多頭飼い崩壊してしまったら、どうなりますか？ やはり、保健所とかですか？ 隣の親戚がそうなってしまい、地域の放送で猫に関する苦情が放送され、たぶん、

NPO等の動物保護センターに連絡相談してみてください。
多少離れた場所でも引き取りに来てくれる所が多いです。
基本お金はかかりません。

事件化してメディアに大々的に取り上げられたりすると、保護センターの方から協力の申し出が来ることもありますが
猫ちゃんやご近所の方々の事を考えれば、１日でも早く猫・人双方の住環境改善が必要だと思います。

保健所はいわば最終処分場です。
処分したければ保健所(市役所含む)
生かしたければ保護センター

どちらを選択するかは
飼い主さん次第です。

余談ですが、近所の方が保健所に複数クレームを入れてしまうと保健所から猫を捕獲しに来ることもあります。
近所の人が自ら捕まえて…という事も少なくないです。