普通に生きたくても生きれないので障害者手帳を取得したい。 20代後半の男性で軽度発達障害とうつ病を患っています。 今は理解ある職場でパートで週5、4時間ほど

手帳の申請は成人してるのであれば個人でできると思いますが、家族と同居中であれば、聞き取り判定の時に家族からお話を聞くという可能性はあると思います。
最初の申請に当たる前に一度面談するはずなので、その時に家族に反対されててーという事情を説明して相談したら良いでしょう。
グループホームのお話もその時に相談して見たらどうでしょう？
お役所なので、専用の窓口を教えていただけると思います。
ご両親には障害のあるこれが自分だということを認めて欲しいと根気強く説明し納得してもらうしかありません。
納得してもらえないのであれば、距離を置くことも必要だと思います。

就職にあたっては都会の方が企業が多いので、就職先の幅は広がりますが、そこが自分にあってるかどうかはやはり会社とやりとりしないとわかりません。今年から法律の施行により、障害者の就職が少し楽にはなってると思います。
気になる企業をとにかく数多くあたり、相談してみるしかありません。